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Calcul du volume de l'espace
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Gandor
Leader d'opinion


Inscrit le: 07 Fév 2004
Messages: 1144

 Message Posté le: Sam Mai 07, 2011 22:46    Sujet du message: Calcul du volume de l'espace
Répondre en citant

Je renote ici le point sur le calcul de l'espace, pour le cas où il y ait un brillant mathématicien qui passe dans le coin.
Gandor a écrit:
Distance de 29 => 34 279 secteurs
Distance de 30 => 37 881 secteurs
Distance de 69 => 447 719 secteurs
Distance de 70 => 467 321 secteurs
Distance de 19=> 9 919 secteurs
Distance de 20 => 11 521 secteurs

MU a écrit:
J'avais trouvé la formule de calcul du nombre de secteur possible en fonction du nombre de déplacement mais... je l'ai perdue. Mais si quelqu'un l'a je veux bien.
La début de la suite est un peut tordue, si je me souviens bien :0, 6, 18 (enfin si on fait pas les retours arrière).
Sinon je veux bien celle du volume global (qui doit bizzarement tourner autour de d au cube).
Si tu parles de retour arrière, c'est que tu parles de chemin possibles, non ? Je ne voulais compter que le nombre de secteurs possibles.
Je repose mes bases de calcul pour être sûr que l'on parle de la même chose. Je suis parti sur la base de 1, 7, 19 car je compte le secteur dans lequel je suis (ta mémoire semble pas si mauvaise). Au final cela ne fait que 1 d'écart
Distance 0 => 1 seul secteur, celui où on est.
Distance de 1 => 7 (mon niveau, 5 secteurs possibles, celui du dessus, et celui du dessus, 2*1)
...

mais cela ne tourne pas autour de d*d*d. Loin de là.

Le nombre de secteur par niveau se calcule ainsi :
S = 2*d*d + 2*d + 1 avec d = distance
Ou encore sous forme de suite :
u(n) = 4*n + u(n-1), avec u(0)=1

Le nombre de secteurs possible (une double pyramide à base carrée, de côté 2*d+1) est donc :
1 pyramide de base d + 1 pyramide de base d-1
soit : p(n) + p(n-1)
ou encore :
2 pyramides de base d-1 + le niveau d
soit : 2p(n-1) + u(n)

Il suffit donc de calculer la sommes des éléments de la suite:
et p(n) = somme de 0 à n de [u(n)]

Mais, ce n'est pas une suite arithmétique, ni géométrique et même pas arithmético-géométrique... bref c'est quoi ? et comment calculer la somme de ce type de suite ?

Y'a pas un jeune matheux dans le coin ? Ca date un peu pour moi, il me faudrait une bonne révision.
_________________
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MU
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Inscrit le: 05 Fév 2004
Messages: 1870
Localisation: Eternia

 Message Posté le: Dim Mai 08, 2011 17:00    Sujet du message:
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Le passage par les étages est astucieux, on peut d'ailleurs le reproduire pour la 2D résultante.

Surface d'un étage (parcourue en n déplacement sans monter ou descendre)

Pour un étage donné, on peut voir qu'on a 1, 1+3+1, 1+3+5+3+1 etc... en refaisant une sorte de découpage par ligne. En 2D, on voit que c'est une somme de nombres impaire (2n+1), avec une symétrie qui double tout sauf la ligne du milieu. Du coup je passerai plutôt par une composition de suites.

f(d)= la ligne centrale (2*d+1) plus deux fois la somme des impaires inférieurs ( u(0) = 1 , u(n)=u(n-1)+2 , suite arithmétique ) = 2d+1 +2Somme(u(d-1))

Comme la somme des termes d'une suite arithmétique (merci wikipedia) = (n+1)*(u(0)+u(n))/2 = pour nous (d+1)*(1+2d+1)/2 = (d+1)*(d+1) [= d²+2d+1 ]
soit par étage la surface est de 2d+1 + 2(d-1+1)*(d-1+1), 2d² + 2d+1

Notez qu'il m'a fallut une page pour arriver au résultat de base de Gandor (mais d'un autre coté j'y suis arrivé ce qui me rassure aussi sur mes restes de terminal).

Volume accessible en d déplacement

Maintenant je serai tenté de poser SE(d) comme surface d'un étage où l'on a droit à d déplacements. Sachant qu'on a chaque étage en s'éloignant du RDC on a droit à un déplacement de moins et qu'on retrouve la symétrie de la 2D en 3D. Donc pareille:
V(d) = SE(d) + 2 fois la somme des termes de SE(d-1) à SE(0)

Somme des étage d'une pyramide discrete

C'est vrai que c'est pas une suite arithmétique (on ajoute pas le même nombre à chaque étage) ni géométrique, mais on doit pouvoir en calculer la somme quand même...

Si on regarde comment "2d² + 2d+1" évolue, entre d et d+1
2(d+1)² + 2(d+1) +1 = 2d² +4d +2 +2d +2 +1 = 2d² +6d + 5
Ce qui fait
SE(d+1)-SE(d) = 4d+4 Donc SE(d+1) = SE(d)+4d+4 (et là je ne trouve plus le même que Gandor). = SE(d)+4 (d+1)

Si on fait SE(0)+ SE(1)+SE(2)+SE(3)+... +SE(n)=
1
+SE(0) +4(0) +4
+SE(1) +4(1) +4
+SE(2) +4(2) +4
+...
+SE(n-1) +4(n-1) +4

Quand on regarde le 3e terme de chaque ligne on voit qu'il vaut 4 et que sa somme vaudra 4n
Quand on regarde le 2e terme on voit que c'est 4 somme de 1 à n-1
Les premiers termes correspondent à la somme de SE de 0 à n-1

Soit =1+ 4n + 4(n*(n-1)/2) + S(0)+ S(1)+ ... +S(n-1)
Soit =1+ 2n² +2n + S(1)+ S(2)+ ... +S(n-1)
Donc la somme de SE(0) à SE(n) = Somme de SE(0) à SE(n-1) +2n²+2n+1
Donc on peut postuler que somme de SE(0) à SE(n) =
2n²+2n+1
+ 2(n-1)²+2(n-1) +1
+ 2(n-2)²+2(n-2) +1
+ ....
+ 2(2)²+2(2)+1
+ 2(1)²+2(1)+1
+ 1

si on prend les +1 de fin de ligne on voit qu'il y en a n+1
Si on prend le 2e terme en 2..., on voit qu'il y en aura n
Si on prend le 1e terme en ² ..., on voit qu'il y en aura n

Donc si on factorise, somme de SE(0) à SE(n), on a
2 * Somme des termes au carré de 1 à n
+ 2 *Somme de 1 à n
+n+1

Somme de 1 à n c'est n(n+1)/2 (classique suite arithmétique)
Somme des termes au carré de 1 à n , c'est plus tordu mais on doit pouvoir trouver sur internet : n(n+1)(2n+1) / 6 (google nous évite une nouvelle démonstration par récurrence).

Ce qui donne : somme de SE(0) à SE(n) = n*n(n+1)(2n+1)/6 + 2n*n(n+1)/2 + n + 1

Soit somme de SE(0) à SE(n) = P(n) = (2n³ + 6n² + 7n +3)/3

Arf, c'es presque terminé: ca nous donne le volume d'une pyramide
Si on veut notre volume global, il faut donc le RDC plus les deux pyramides dessous et dessus.
V = SE(d) + 2 P(d-1).
SE(d)=2d² + 2d+1
P(d-1) = (2(d-1)³ + 6(d-1)² + 7(d-1) +3)/3 = (2d³+d)/3 Shocked


Retour à notre volume

Donc
V = 2d² +2d +1 + (4d^3 +2d)/3 = (4d³+6d²+8d+3)/3

Rahhha tout ça pour tomber sur une formule simple et élégante:
- un +1 pour l'initialisation
- un dividende à 3 comme le nombre de dimension
- un exposant max à 3 comme le nombre de dimension
- ça a l'air de fonctionner sur les premières valeurs.

Citation:
V = (4d³+6d²+8d+3)/3


Merci à Gandor pour m'avoir mis sur la bonne piste.
_________________
Maître de l'Univers,
tout simplement.
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Gandor
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Messages: 1144

 Message Posté le: Dim Mai 08, 2011 19:11    Sujet du message:
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J'ai testé ta formule par rapport aux sommes que j'effectue (là encore, merci excel). Les résultats sont identiques sur les 100 1ères valeurs.
Je relirai ta démonstration, mais on peut dire que l'union fait la force.

Bravo pour ta démonstration MU.
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Gandor, as des as.
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Mad Louison
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 Message Posté le: Mar Mai 10, 2011 12:49    Sujet du message:
Répondre en citant

Bravo ça a l'air super, moi j'y capte rien aux maths alors je vous
fais confiance Laughing
Bon je retourne à mes gribouillis Wink
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vive Luna V2!
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